1（10分）設(shè) 是互不相同的整數(shù)，求證多項(xiàng)式

在整系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)中不可約。

2（10 分） 設(shè) ，求 有重根的條件。

3 （10分）記

求 的根。

4（10分）（1）設(shè) ，  。求 ；

            （2）求 ，其中 。

5（15分）設(shè) 是 階方陣 的伴隨矩陣。證明：當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。

6（10分）設(shè) 為 階方陣， 為正整數(shù)，線性方程組 有解向量 且 。證明：向量組 線性無(wú)關(guān).

7(10分)求下面向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組表示：

。

8（10分）若下面線性方程組有解，常數(shù)應(yīng)滿足什么條件？

9（15分）已知矩陣 

有特征值 ，矩陣 。其中 為實(shí)數(shù)， 為單位陣。

（1）    求 ，并說(shuō)明 是否可以對(duì)角化；

（2）    矩陣 是否可以對(duì)角化，若能，求對(duì)角矩陣 ，使 .

10(15分)已知 均為三階非零矩陣，且

（1）    證明 與 的特征值只能是0或1；并且0和1必是 與 的特征值；

（2）    若 是 關(guān)于 的特征向量，則 必是矩陣 關(guān)于 的特征向量。

11（15分）設(shè)

（1）    用正交變換化此二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫(xiě)出所有的正交變換；

（2）    是否有可逆矩陣 ，使得 。其中 是原二次型的矩陣。若有，求出它；若無(wú)，說(shuō)明理由。

12  (20分)設(shè) 為有理數(shù)域上的三維向量空間， 為 到 的線性變換。若對(duì) ，有 ，證明 線性無(wú)關(guān)。

數(shù)學(xué)分析

一、（20）設(shè) 在 上連續(xù)并且單調(diào)遞減，證明函數(shù)

在 上單調(diào)遞減。

二、（20）設(shè) ， ，證明極限 存在并求之。

三、（20）設(shè) 是 個(gè)正實(shí)數(shù)，求 。

四、（10）區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)如果在任何有理點(diǎn)上為零，證明此函數(shù)恒為零。

五、（20）證明   。

六、（20）研究函數(shù)  的連續(xù)性及可微性。

七、（20）求正向簡(jiǎn)單閉曲線 使積分  最大，并求出最大值。

八、（每小題10分，共20）

設(shè) 為平面上一個(gè)有界閉集，連續(xù)函數(shù) 將 一對(duì)一映為平面上點(diǎn)集 ，證明

（1）    也是有界閉集

（2）    的逆映射也是連續(xù)函數(shù)。

------------------鄭州大學(xué)2009年高等代數(shù)考研真題試卷