重慶大學(xué)2003年碩士研究生入學(xué)考試試題

高等代數(shù)試卷

一、    填空題（36分）

1．設(shè)n階方陣A滿足 ，其中E是單位矩陣， ，則 _____________

2．設(shè)A、B均為n階方陣， ， 為矩陣A的伴隨矩陣，則 ______

3．設(shè) ， ，則B = _____________________

4．設(shè) ，其中 為任意3維實(shí)向量，則線性變換 在 下的矩陣表示為_________________________________

5．設(shè)A是可逆矩陣， 是A的一個(gè)特征值，則A的伴隨矩陣 一定有一個(gè)特征值為________

6．若方程 無(wú)解，則 ________；若此方程有惟一解，則 _______

7．設(shè) ，則 ______________________

8．向量組 的秩等于__________，其一個(gè)最大無(wú)關(guān)組是________________

9．設(shè) ，則向量y的長(zhǎng)度 ______________

10．設(shè)n階方陣A的秩 ，n階方陣B的秩 ，則 的解空間的維數(shù)等于___________________

二、    計(jì)算題（50分）

1．  設(shè)n維向量 ，令 ，求對(duì)角矩陣 和可逆矩陣P使得

2．  設(shè) 是5維Euelid空間 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基， ，其中 ，求 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基

3．  設(shè) ，求A的初等因子和Jordan標(biāo)準(zhǔn)矩陣

4．  設(shè)n階方陣A滿足 ，且 ，證明A相似于對(duì)角陣，并求 的值

5．  設(shè) 是n階方陣， ，求矩陣 的行列式值

三、    證明題（64分）

1．設(shè) 是 中的兩個(gè)非平凡子空間，證明：在 中存在向量 使得 ；并在 中舉例說(shuō)明此結(jié)論

2．設(shè) 是n維線性空間 的一組基，對(duì)任意n個(gè)向量 ，證明：存在惟一的線性變換T使得

3．（1）設(shè)A、B為n階方陣，證明： 的充要條件是 的解均為 的解

（2）設(shè)A、B為n階方陣， ，證明對(duì)于任意可以相乘的矩陣C均有

（3）若有自然數(shù)k使得 ，則

4．設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱方陣，

 （1）若 ，則存在實(shí)（非負(fù)）整數(shù)r和可逆矩陣P使得

（2）記 ，給出S為 的字空間的充分必要條件，并證明你的結(jié)論

5．設(shè)實(shí)二次型 ， 是A的特征值，證明存在非零向量 使得

6．設(shè) 是三個(gè)多項(xiàng)式，證明：