南京信息工程大學(xué)碩士研究生招生入學(xué)考試

考試大綱

科目代碼：T66

科目名稱：高等代數(shù)

第一部分  目標(biāo)與基本要求

試題主要考核考生對(duì)高等代數(shù)的基礎(chǔ)理論、基本知識(shí)和基本技能掌握的程度，以及運(yùn)用所學(xué)理論分析、解決問(wèn)題的能力。

第二部分 內(nèi)容與考核目標(biāo)

1、多項(xiàng)式

（1）了解數(shù)域的概念；一元多項(xiàng)式的概念

（2）掌握整除、最大公因式、重因式、最小公倍式、可約、不可約、互素、多項(xiàng)式函數(shù)等概念；

（3）掌握輾轉(zhuǎn)相除法、Eisenstein判別法以及整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法；

（4）掌握實(shí)系數(shù)、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的性質(zhì)。

2、行列式

（1）了解n級(jí)排列、n級(jí)行列式、子式及代數(shù)余子式的概念；

（2）n級(jí)行列式的基本性質(zhì)、行列式的按一行（列）展開(kāi)方法；Cramer法則；n級(jí)行列式的計(jì)算。

3、線性方程組

（1）了解n維向量空間概念；

（2）理解向量的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、極大無(wú)關(guān)組、矩陣的秩、自由未知量、增廣矩陣等概念；

（3）掌握線性方程組有解判別定理；線性方程組解的結(jié)構(gòu)；極大無(wú)關(guān)組的求法，求解線性方程組的初等變換法；向量線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)性的證明。

4、矩陣

（1）了解矩陣的概念；伴隨矩陣及矩陣的逆的概念、矩陣等價(jià)的概念；

（2）理解初等變換與初等矩陣的關(guān)系；矩陣的運(yùn)算法則；

（3）掌握矩陣的簡(jiǎn)單分塊、性質(zhì)及其運(yùn)算法則；積秩定理；矩陣逆的求法。

5、二次型

（1）了解二次型的概念及其矩陣表示；二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及其實(shí)、復(fù)規(guī)范形的概念；

（2）掌握正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差的概念；矩陣的主子式及順序主子式概念；矩陣合同的概念；

（3）掌握矩陣（二次型）的正定、半正定、不定的概念及其判定；二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法（包括化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形之合同變換陣的求法）。

6、線性空間

（1）了解集合、映射的概念；線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)；

（2）理解基變換與坐標(biāo)變換的概念及其求法；

（3）掌握維數(shù)、基與坐標(biāo)的計(jì)算；線性子空間、子空間的交與和、直和的概念及其基本性質(zhì)；子空間的交與和的求法；維數(shù)公式及其運(yùn)用。

7、線性變換

（1）了解線性變換的定義、線性變換的運(yùn)算、線性變換的矩陣；

（2）掌握矩陣特征值與特征向量的概念及其求法；線性變換的值域與核、不變子空間、約當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形的概念；矩陣特征值與特征向量的基本性質(zhì)；

（3）理解Hamilton一Cayley定理；矩陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件。                                                                                                                                                 

8、λ-矩陣

（1）掌握λ-矩陣、初等因子、不變因子、行列式因子的計(jì)算。

（2）掌握若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的求解。

9、歐幾里得空間

（1）理解歐氏空間的定義與基本性質(zhì)；標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換、正交矩陣的概念和基本性質(zhì)；

（2）掌握歐幾里得空間之向量的長(zhǎng)度、單位向量、夾角、以及度量矩陣的概念；施密特（Schmidt）正交化方法；

      （3）掌握對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化方法以及將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的正交化方法。

第三部分  有關(guān)說(shuō)明與實(shí)施要求

1、基本要求：理解和掌握一元多項(xiàng)式理論、線性代數(shù)的代數(shù)理論（行列式、矩陣、線性方程組、二次型、λ-矩陣）以及線性代數(shù)的幾何理論（線性空間、線性變換、歐氏空間）。

2、 命題說(shuō)明：題型包括填空題、解答題和證明題，分別占大約20分、50分、30分。試題內(nèi)容中“了解”部分約占15%，“理解” 部分約占40%，“掌握” 部分約占45%。

3、 參考書(shū)目: 《高等代數(shù)》（第四版），北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社。

4、 其他規(guī)定：考試方式為閉卷筆試，總分100分，考試時(shí)間為120分鐘。