2021年西北師范大學(xué)碩士研究生招生考試大綱

碩士研究生入學(xué)考試

同等學(xué)力加試

微分幾何 考試大綱

 (科目代碼：   )

學(xué)院名稱(蓋章)：    數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院     

學(xué)院負(fù)責(zé)人(簽字)：                         

編  制  時(shí)  間：  2019年 7 月2 日  

微分幾何考試大綱

一、考核要求

理解曲線論和曲面中的一些基本概念，準(zhǔn)確掌握研究微分幾何的常用方法和基本結(jié)論。能夠以此為基礎(chǔ)研究現(xiàn)代微分幾何學(xué)，能夠理論聯(lián)系實(shí)際、分析和解決實(shí)際幾何問(wèn)題。

二、考核要點(diǎn)

第一章考核曲線論的基本概念、基本公式和基本方法；第二章考核正則參數(shù)曲面的概念，曲面的第一、二基本形式，曲面的各種曲率、曲面上的各種方向和對(duì)應(yīng)曲線，特殊曲面的幾何意義和幾何特征；第三章考核等距對(duì)應(yīng)和共形對(duì)應(yīng)的基本概念，測(cè)地曲率的計(jì)算，測(cè)地線方程和基本性質(zhì)，Gauss-Bonnet公式及重要結(jié)論，特殊曲面，理解測(cè)地曲率和測(cè)地線是內(nèi)蘊(yùn)幾何概念，了解協(xié)變微分。

三、考核內(nèi)容

第一章       曲線論

第一節(jié)   曲線的概念

第二節(jié)   Frenet標(biāo)架

第三節(jié)   空間曲線的曲率和撓率

第四節(jié)   曲線輪的基本定理

第五節(jié)   密切曲面

第六節(jié)   特殊曲線

說(shuō)明：掌握曲線的概念，空間曲線的基本三棱形，曲率撓率和Frenet公式。掌握特殊曲線：平面曲線，一般螺線。掌握曲線上一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)和空間曲線論的基本定理。

第二章       曲面論

第一節(jié)   正則曲面的概念

第二節(jié)   曲面的第一基本形式

第三節(jié)   曲面的第二基本形式

第四節(jié)   法曲率與Weingarten變換

第五節(jié)   主曲率、Gauss曲率和平均曲率

第六節(jié)   漸近方向與漸近線、主方向與曲率線

第七節(jié)   特殊曲面

第八節(jié)   曲面論的基本定理

說(shuō)明：掌握正則參數(shù)曲面的概念，掌握并能熟練計(jì)算曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、各種曲率，理解曲面上的特殊方向（指漸近方向和主方向）和特殊曲線（指漸近線和曲率線）的幾何意義。掌握可展曲面的幾何意義和幾何特征，懂得Gauss曲率是內(nèi)蘊(yùn)量，理解曲面論的基本定理。

第三章 曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何

第一節(jié)       等距對(duì)應(yīng)與共形對(duì)應(yīng)

第二節(jié)       測(cè)地曲率與測(cè)地線

第三節(jié)       Gauss-Bonnet公式

第四節(jié)       協(xié)變微分

第五節(jié)       常高斯曲率的曲面

說(shuō)明：理解等距對(duì)應(yīng)的意義。熟練掌握測(cè)地曲率的計(jì)算，掌握測(cè)地線的方程和基本性質(zhì)。熟記Gauss-Bonnet公式及幾個(gè)重要推論。了解協(xié)變微分是歐氏平面上普通導(dǎo)數(shù)概念在曲面上的推廣。理解測(cè)地曲率和測(cè)地線是內(nèi)蘊(yùn)幾何概念。掌握常高斯曲率曲面。

四、參考書目

1. 陳維桓編著，《微分幾何》，北京大學(xué)出版社，2006年.

2. 蘇步青，胡和生等，《微分幾何》，高等教育出版社，1994年.

3. 梅向明,黃敬之編,《微分幾何》（第四版），高等教育出版社，2008年.